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　　我们都知道现实世界中的事物往往具有固定的形状。字母 L 与字母 M 不同。但是，在拓扑的游乐园世界中，数学领域正在逐渐改变我们对世界的看法，通常的规则并不适用。拓扑数学的研究者认为 L 基本上与 M 或 C 或 Z 相同。在拓扑学家看来，一个物体可以通过轻轻弯曲、扭曲和拉伸变成另外一个物体形状，前者和后者在本质上是相同的。

　　几个世纪以来，这种看东西的方式几乎没有实际价值，但是这种情况已经开始改变。拓扑结构指导着我们今天如何理解大数据。它帮助物理学家发现了导电的新材料，这不同于地球上任何其他材料，以及隐藏在这些材料中的新物理。它甚至激发了微软开发听起来像科幻小说的机器的努力：一种量子计算机，有望解决当今设备无法解决的问题。

　　斯坦福大学数学家兼拓扑学专家 Gunnar Carlsson 表示：“长期以来，拓扑学并没有以严肃的方式应用于任何重要问题。” “但是它已经成为21世纪不可忽视的力量。”

　　拓扑的故事始于大约 300 年前，当时地球上最聪明的数学家之一听说了一个难题。一个遥远的欧洲城市的居民想知道：您能漫步穿过他们的小镇柯尼斯堡（Knigsberg）的七座桥，而且每座桥只走一次吗？

　　那个数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是一个知识分子，他创造了我们今天使用的许多数学符号，并且可以说是有史以来最美丽的方程式。起初，他完全没有把柯尼斯堡七桥问题放在心上，在一封信中称其为“无聊”。值得庆幸的是，无论如何，一个瑞士天才决定引起他的注意。欧拉的同时代人找不到这条路-但他们也不能证明这条路不存在。

　　欧拉采取了一种不同寻常的方法。他忽略了地图的细节。忘记桥的长度和它们之间的距离。忽略城市中央岛屿的大小。建立一个城市的粘土模型，按照自己的喜好扭曲它-只拉伸和捏紧，不造成断裂-这样问题的本质就不会改变。

　　欧拉说，最重要的是桥梁的数量和它们连接的陆地的数量。仅通过计算这些，他就表明七巧问题是无法解决的。对于试图组织一个高效率穿越柯尼斯堡桥梁为主题的徒步旅行的人来说，这是一个令人难过的消息。

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　　欧拉继续寻找其他看待现实的方法，这些方法忽略了可以用尺子测量的细节。你不妨试一下：随便找个多面体，计算多面体角和面的数量之和金年会app免费下载，减去多面体的棱。您应该得到数字2。再找个其他的多面体，重复相同的过程，你会发现结果将始终为2。

　　欧拉以崭新的方式看待形状，播下了拓扑的种子。拓扑学家试图利用简单的数字特征来了解哪些形状具有共同点，以及什么使另一形状有所不同。

　　可以说，最近的拓扑结构的最大成就是证明了法国数学家 HenriPoincaré 的一个古怪的猜想，他将已经很奇怪的想法又往前迈了一步。

　　数学家知道，奇怪的是，只要没有孔洞，任何日常物体都可以通过逐渐变形而变成球体。庞加莱提出，对于三个以上维度的物体（例如宇宙宇宙），情况也是这样。

　　孔在拓扑结构方面具有特殊的魔力。在拓扑学家的达利式早餐中，咖啡杯可以慢慢融化成甜甜圈。杯子手柄上的孔变成了甜甜圈上的孔。但是，甜甜圈不能变成无孔的香肠，反之亦然。拓扑允许形状轻轻扭曲自己，但不能突然撕裂或合并。

　　通过考虑孔，拓扑学家发现了许多奇特的形状。最早出现在 1882 年的奇异物体之一可能是克莱因瓶。它看起来像是苏斯博士（Dr. Seuss）所写的书，只是真正存在于四维空间。由于此容器自身弯曲的方式，因此没有体积。它的内部就是它的外部。

　　克利夫·斯托尔（Cliff Stoll）写道：“蚂蚁可以在整个表面上行走，而不会越过边缘。”克里夫·斯托尔（Cliff Stoll）可能是全球第一的克莱因（Klein）瓶爱好者。斯托尔同时也是一位受过训练的天文学家，来自《回到未来》中的埃米特·布朗博士 ，也是一名吹玻璃的手艺人，他从加利福尼亚州奥克兰市的房子里出售这些弯曲容器。他建议客户不要尝试将液体倒入瓶中。它们不是很实用，而且清洁起来确实很痛苦。

　　如果这个瓶子让你感到困惑，那说明你真的理解了。拓扑学家玩耍的形状通常与我们的日常生活几乎没有关系；他们无视常识。考虑一下莫比乌斯带（Mbiusstrip），这种带是通过将色带扭曲一次并将两端绑在一起制成的环。这是一个只有一个表面，一个边缘的奇异物体。将正常的纸环在长度方向上切成两半，会产生两个较小的环，如果将莫比乌斯带切成两半，则会得到一个更大的环。

　　长期以来，这些奇异的形状（以及拓扑显示的其他形状）仅仅是出于好奇。但是后来他们开始出现在令人惊讶的地方，例如黑白数码照片。大约10年前，斯坦福大学的数学家卡尔森（Carlsson）正在分析照片中出现的同事将其切成9像素块的照片。在具有9个维度的图形上将这些点绘制为点，其中一个维度表示每个像素的暗度值，然后出现一个看起来像Klein瓶的形状。卡尔森（Carlsson）应用了这些知识，发明了一种将图像数字压缩为较小尺寸的新方法。他创立的公司 AYASDI 使用拓扑来寻找与不同癌症相关的基因的模式，通过银行交易发现欺诈活动等等。

　　拓扑的实用性还不止于此。希望更好地了解遗传学复杂性的生物学家越来越多地转向拓扑以提供清晰性。因此，神经科学家不知所措，他们可以从大脑中收集到大量的数据，而机器人学家则试图教他们的发明来进行复杂的动作。

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　　拓扑数学曾经是抽象的，脱离实际的，现在已经开始在现实中扬起头来，也将在以后发挥出巨大的作用。